Código de Hamming

Es un código que se utiliza en la detección y corrección de errores que se producen en la transmisión de códigos binarios, la palabra de código se conforma por los bits de comprobación y los bits de información.

Para poder continuar con el desarrollo del código es necesario tener en cuenta algunas generalidades y conceptos básicos:

Código binario: Es una representación unívoca de las cantidades, de tal forma que a cada una de éstas se le asigna una combinación de símbolos binarios.

Distancia entre dos combinaciones binarias: Viene dada por el número de bits que hay que cambiar en una de ellas para obtener la otra.

Distancia mínima de un código: Es la menor de las distancias entre dos combinaciones binarias cualesquiera pertenecientes a dicho código

El código de Hamming agrega tres bits adicionales de comprobación por cada cuatro bits de datos del mensaje. El algoritmo de Hamming puede corregir cualquier error de un solo bit, pero cuando hay errores en más de un bit, la palabra transmitida se confunde con otra con error en un sólo bit, siendo corregida, pero de forma incorrecta, es decir que la palabra que se corrige es otra distinta a la original, y el mensaje final será incorrecto sin saberlo.

El algoritmo es el siguiente:

Posición 1: salta 0, comprueba 1, salta 1, comprueba 1, 

Posición 2: salta 1, comprueba 2, salta 2, comprueba 2, etc.

Posición 4: salta 3, comprueba 4, salta 4, comprueba 4, etc.

Posición 8: salta 7, comprueba 8, salta 8, comprueba 8, etc.

Posición 16: salta 15, comprueba 16, salta 16, comprueba 16, etc.

Regla general para la posición n es: salta n-1 bits, comprueba n bits, salta n bits, comprueba n bits...

En otras palabras, el bit de paridad de la posición 2k comprueba los bits en las posiciones que tengan al bit k en su representación binaria. Dicho a la inversa, el bit 13, por ejemplo, es chequeado por los bits 8, 4 y 1, al ser estos los de su representación binaria: 13=1101(2); 8=1000(2); 4=0100(2); 1=0001(2). Así, por ejemplo, para los primeros términos se tiene: En la Posición 1 (2^0 = 1), comprobaríamos los bits: 3, 5, 7, 9, 11, 13... En la Posición 2 (2^1 = 2), los bits: 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15...En la Posición 4 (2^2 = 4), los bits: 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23...En la Posición 8 (2^3 = 8) tendríamos: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24-31...

Siguiendo el algoritmo hasta completar la nueva cadena.

Consideremos la palabra de datos de 7 bits "0110101". Para ver cómo se generan y utilizan los códigos Hamming para detectar un error, observe las tablas siguientes. Se utiliza la d para indicar los bits de datos y la p para los de paridad. En primer lugar los bits de datos se insertan en las posiciones apropiadas y los bits de paridad calculados en cada caso usando la paridad par. 

La nueva palabra de datos (con los bits de paridad) es ahora "10001100101". Consideremos ahora que el bit de la derecha, por error, cambia de 1 a 0. La nueva palabra de datos será ahora "10001100100".

Si se analiza en la tabla anterior la paridad que se debe obtener a la derecha tras la llegada del mensaje sin errores debe ser siempre 0 (por cada fila), pero en el momento en que ocurre un error esta paridad cambia a 1, de allí el nombre de la columna "prueba de paridad 1". Se observa que en la fila en que el cambio no afectó la paridad es cero y llega sin errores.

El paso final es evaluar los bits de paridad (recuerde que el fallo se encuentra en d7). El valor entero que representan los bits de paridad es 11 (si no hubieran ocurrido errores este valor seria 0), lo que significa que el bit décimo primero de la palabra de datos (bits de paridad incluidos) es el erróneo y necesita ser cambiado.

Todos los bits cuya posición es potencia de dos se utilizan como bits de paridad (posiciones 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). Los bits del resto de posiciones son utilizados como bits de datos (posiciones 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, etc.). Cada bit de paridad se obtiene calculando la paridad de alguno de los bits de datos. La posición del bit de paridad determina la secuencia de los bits que alternativamente comprueba y salta, a partir de éste, tal y como se explica a continuación.